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Il Taeg Sabatini

Premessa 
Il Taeg, (Tasso effettivo annuo globale) di una operazione finanziaria, è il tasso che tiene conto non solo della rateizzazione, ma anche delle spese necessarie per accedere al finanziamento, che aumentano il costo dell'operazione e quindi il tasso effettivo.
Il Taeg  dell'operazione Sabatini è influenzato anche dal contributo, che riduce il costo globale dell'operazione.
Il Taeg è un tasso di interesse e non di sconto, per cui occorre rianalizzare tutta l'operazione Sabatini nel suo complesso. Riprendiamo la nostra operazione a tasso di riferimento (contributo all'acquirente per zona "Nord") con  Capitale di € 100.000,00, 10 rate semestrali da € 11.896,83, spese di € 3.336,00 e contributo di € 8.101,93. 

Le variabili da considerare: le spese 
Come visto, l'acquirente deve sostenere una serie di spese per accedere al finanziamento Sabatini.
Dato che le spese vengono sostenute contemporaneamente all'inizio del finanziamento, in pratica possiamo considerare che l'acquirente ottiene un finanziamento pari all'importo finanziato meno le spese, come segue:

Importo finanziato       € 100.000,00 -
Spese                    €   3.336,00 =
                         ---------------
Importo finanziato reale €  96.664,00

In pratica l'acquirente paga 10 rate semestrali da € 6.144,24 non per un importo di € 100.000,00, ma per € 96.664,00. A parità di rate, cresce ovviamente il tasso. 

Le variabili da considerare: Il contributo 
Il contributo ha l'effetto contrario delle spese, in quanto va ad aumentare l'importo finanziato. In pratica l'acquirente paga la stessa rata per ottenere un finanziamento superiore, riducendo il costo dell'operazione.

Importo finanziato       € 100.000,00 -
Spese                    €   3.336,00 +
Contributo               €   8.101,93
                         ---------------
Importo finanziato reale € 104.765,93

In realtà i valori non sono confrontabili in quanto il contributo viene ottenuto con circa 4-8 mesi di ritardo (che per semplicità supponiamo di 6 mesi) rispetto al finanziamento.
Occorre quindi riportare indietro il valore del contributo, con una operazione di attualizzazione del valore futuro. Ad esempio, se il valore del contributo fra 6 mesi è di € 8.101,93, il suo valore ad oggi, al tasso di interesse annuo corrente del 5% sarà di €  7.904.32, ottenuto applicando la seguente formula:

M= C+ C* i * t

da cui

M
C= ---------
  1+(i*t)
 

8.101.926
C= ---------------
1+(0,05*0,5)

C= 7.904.318

dove 0,05 è il tasso del 5% e 0,5 rappresenta 6 mesi (mezzo anno = 6/12).
 

Il regime composto 
Nel caso appena visto di attualizzazione del contributo è stato applicato un tasso arbitrario del 5%, mentre il tasso da applicare per l'attualizzazione è lo stesso Taeg, che per il momento rappresenta una incognita. Prima di procedere con il tasso effettivo annuo globale, occorre parlare della capitalizzazione degli interessi.
A suo tempo abbiamo affrontato il problema degli interessi nel regime dell'interesse semplice. La capitalizzazione si ha quando gli interessi di un periodo, al termine del periodo stesso, diventano capitale. Nel periodo successivo, gli interessi verranno calcolati non solo sul capitale iniziale, ma sul capitale più gli interessi del periodo precedente.

Calcoliamo gli interessi su di un capitale di € 100, al tasso del 10%, per due periodi, nel regime dell'interesse semplice e composto

a) Nel regime dell'interesse semplice avremo (capitalizzazione alla fine dell'ultimo periodo):
 

I= C * i * t = 100 *0,10 * 2 = € 20
 

b) Nel regime dell'interesse composto avremo (capitalizzazione alla fine di ciascun periodo): 

I1= C1 * i * t1 = 100 *0,10 * 1 = € 10

C2= C1+I1 = € 100+10 = € 110

I2 = C2 * i * t2 = 110 *0,10 * 1 = € 11

Va da sé che il regime dell'interesse composto è più oneroso, in quanto il totale degli interessi alla fine del secondo periodo è di € 21 (10 del primo +11 del secondo) invece che di € 20 come nel regime della capitalizzazione semplice.
Si faccia attenzione anche al fatto che parliamo di periodo e non di anno, in quanto il periodo può essere anche frazionato (semestre, mese, trimestre). In questo caso applicheremo un tasso di periodo (tasso semestrale, tasso mensile ecc..).
Nel caso di n periodi, possiamo esprimere la formula dell'interesse composto, come segue:

M1= C + I = C + C * i * t

Dato che t è sempre uguale ad 1, perché tutti i periodi sono di uguale durata, possiamo scrivere:

M1= C+ (C*i*1)= C+ C*i= C*(1 + i)

Nel periodo 2, gli interessi vengono calcolati sul montante del primo periodo: 

M2 = M1+M1*i

ovvero

M2 =C*(1+i) + C*(1+i) *i

M2=C* (1+i) * (1+i)

M2= C* (1+i)²

Più in generale, quindi,

M= C (1+i)^t
 

dove t sta per il numero di periodi.

Ricerca del tasso: il valore attuale 

Dalla formula per il calcolo del Montante

M= C (1+i)^t

possiamo ricavare la formula inversa per il calcolo del valore attuale (C).

M
------------ = C
(1+i)^t
 

La formula dell'attualizzazione, ci serve per calcolare il tasso dell'operazione, anche se per tentativi.
Il tasso giusto, infatti, è quel tasso al quale la somma dei valori attuali delle rate è uguale al capitale finanziato meno le spese più il valore attuale del contributo. Le spese ed il Finanziamento (C), sono già un Valore attuale in quanto entrambe fanno riferimento al tempo 0. 

Va(rate)= C - Spese + Va(contributo)
 

Ricerca del tasso di un'operazione 
Andiamo a calcolare il tasso della nostra operazione Sabatini campione, inizialmente senza considerare né il contributo né le spese. Il tasso i da trovare, è quello che rende valida la seguente equazione, dove il valore attuale delle rate deve essere uguale al capitale dilazionato:
 

dove 1, 2, n-1, n, rappresentano il numero della rata e M1, M2 ecc. . il valore della stessa. Risolvendo in base ad iterazioni (prove) sul tasso,  ad esempio tramite un foglio di calcolo, troviamo che il tasso che rende valida l'uguaglianza è il tasso del 3,2895%.

Per il calcolo del Taeg della Vostra operazione scriveteci.

Conversione da tasso periodico a tasso annuo 
Il tasso appena trovato è il tasso periodico, ovvero il tasso semestrale. Per Convertire il tasso periodico in tasso annuale, possiamo utilizzare la seguente formula:

i= (1+ik)^k -1

dove i è il tasso effettivo annuo (da trovare) ed ik (conosciuto) è il tasso periodico del periodo k, da convertire in tasso annuale. Il periodo k rappresenta quante volte il periodo si riproduce in un anno (2 semestri, 4 trimestri, 12 mesi ecc.)
Sostituendo i valori alla formula otterremo il risultato finale:

i= (1+0,032895)² -1 = 6,6872%

Possiamo notare che, a prescindere da spese e contributo, il tasso dell'operazione è più elevato del tasso di riferimento (6,55%) al quale sono stati effettuati i calcoli originari.
La differenza rappresenta l'incidenza dei giorni banca, che contribuiscono a far lievitare il costo dell'operazione.

Il tasso effettivo dell'operazione Sabatini 
Considerando sia le spese (€ 3.336,00) che il contributo (€ 8.101,93 per le zone "Nord") otterremo:

Importo finanziato       € 100.000,00 -
Spese                    €   3.336,00 +
Contributo               €   8.101,93
                         ---------------
Importo finanziato reale € 104.765.93

il Taeg sarà quindi quel tasso che rende valida la seguente equazione:  

e poi convertito da tasso semestrale in annuale

Taeg Nord = 4,8908%

L'operazione di ricerca del tasso si complica quando le rate non hanno tutte la stessa periodicità, o quando, come nel caso delle rate Sabatini, la prima rata ha una periodicità diversa (Es. 9 rate semestrali, con la prima dopo 12 mesi o 19 rate trimestrali con la prima dopo 6 mesi).
Le rate devono essere attualizzate per il numero di periodi interi più il periodo di differimento della prima rata.
In questo caso, data la mancanza assoluta di periodicità, il risultato del tasso si può considerare molto indicativo, ma non preciso, se il differimento della prima rata non è divisibile per la periodicità (es. 10 rate semestrali, con la prima dopo 5 mesi).

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